矩陣指數（matrix exponential）
標量方程 x' = a x 有乾淨的解 x = e^(a t) x_0。人們禁不住希望系統 x' = A x 也能這樣寫，x = e^(A t) x_0——只是如今指數上是個矩陣。矩陣指數讓這個願望真的成立：它把 e^(At) 定義得使這個公式恰是任意常係數線性系統的精確解。
它由與普通指數相同的冪級數定義，只是用矩陣的冪：e^(At) = I + At + (At)^2 / 2! + (At)^3 / 3! + ...。這個級數總收斂，逐項求導給出 d/dt e^(At) = A e^(At)，且 e^(A0) = I——這恰是 x(t) = e^(At) x_0 解 x' = A x（x(0) = x_0）所需的性質。實踐中你很少去求和這個級數：若 A 可對角化，則 e^(At) = P e^(Dt) P^(-1)，其中 D 裝著本徵值，e^(Dt) 不過是對角線上本徵值的指數；虧損矩陣用約當形，小型情形用凱萊–哈密頓定理。
矩陣指數是線性系統之解的最乾淨表述，是線性系統理論、控制工程以及單參數群（李理論）研究的統一對象。它一眼便編碼了全部長期行為：A 的本徵值取指數後，便告訴你哪些模態增長、衰減或振盪。但請注意，除非 A 與 B 可交換，e^(A+B) 一般並不等於 e^A e^B——矩陣指數不服從課本上的指數律。
對冪零矩陣 A = [0, 1; 0, 0]，級數在此終止：A^2 = 0，故 e^(At) = I + At = [1, t; 0, 1]。則 x(t) = e^(At) x_0 精確推進任意初始狀態。
當 A 冪零時，指數級數終止，e^(At) 是 t 的多項式。
e^(A+B) = e^A e^B 僅當 AB = BA 時成立。對不可交換的矩陣它一般失效，誤以為它成立是常微分方程理論與量子力學中常見且嚴重的錯誤。