柯西–歐拉方程（Cauchy-Euler equation）
/ KOH-shee OY-ler /
大多數變係數常微分方程都確實困難，但有一種特殊樣式幾乎與常係數情形一樣容易。每當每個導數都乘以一個相匹配的 x 的冪——x^2 y'' 配 x^2，x y' 配 x，純 y——這個方程就是柯西–歐拉方程，並屈服於一個乾淨的技巧。
標準形式是 a x^2 y'' + b x y' + c y = 0。由於 x 的冪恰好與求導的階數相平衡，試探解 y = x^m 把每一項化為常數乘 x^m。代入得到指標方程 a m(m-1) + b m + c = 0，一個關於 m 的二次方程，其根給出解，與特徵方程密切平行：相異實根 m_1、m_2 給出 c_1 x^(m_1) + c_2 x^(m_2)；重根 m 給出 (c_1 + c_2 ln x) x^m；一對複根 alpha 加減 i beta 給出 x^alpha (c_1 cos(beta ln x) + c_2 sin(beta ln x))。等價地，代換 x = e^t 把它精確轉化為關於 t 的常係數方程。
柯西–歐拉方程並非一個稀奇之物：它恰恰是你在極座標、柱座標或球座標下分離拉普拉斯方程後所遇到的——其徑向部分正是柯西–歐拉型。因此它支配著徑向對稱區域中的穩態溫度、靜電勢與流體流動，並且是把 x = 0 識別為正則奇點（由弗羅貝尼烏斯方法更一般地處理）的入口。
x^2 y'' - 2x y' - 4y = 0：試 y = x^m，得 m(m-1) - 2m - 4 = m^2 - 3m - 4 = 0，根 m = 4 與 m = -1。故 y = c_1 x^4 + c_2 x^(-1)。
冪 x^m 對柯西–歐拉方程的作用，正如指數 e^(rx) 對常係數方程的作用。
解 x^m 在 x = 0 處有奇性（當 m 為負數或分數時），因此柯西–歐拉解通常只在 x > 0 或 x < 0 上有效，而不能跨越原點；要按問題選取區間。