降階法（reduction of order）

有時你已經知道二階線性方程的一個解，卻需要那個獨立的第二解來補全圖景。降階法正是從第一個解裡擠出第二個解的技術，它把一個二階問題化為一個一階問題——後者通常容易得多。

已知 y'' + p(x) y' + q(x) y = 0 的一個解 y_1，便尋求形如 y_2 = v(x) y_1 的第二解。代入並利用 y_1 本已滿足方程，所有不含 v 之導數的項相消，留下一個關於 v' 的一階方程——階數降了一階。解它給出標準公式 y_2 = y_1 乘以 對 [ e^(-對 p 的積分) / y_1^2 ] 的積分。兩個解自動無關，故 { y_1, y_2 } 是一組基本解。

降階法是若干熟悉結果背後的主力：它解釋了為何重特徵根會產生多出的因子 x（取 y_1 = e^(r x)，那個積分給出 x e^(r x)），也是在由級數得到第一個解後求特殊函數方程第二解的標準途徑。它還適用於某些缺少因變量或自變量的非線性方程，那裡代換 p = y' 可直接降階。