第二類貝塞爾函數（Bessel function of the second kind）

二階微分方程總有兩個獨立解，貝塞爾方程也不例外。第一類貝塞爾函數 J_n 是在中心保持有限的那個；它的搭檔第二類貝塞爾函數 Y_n 是另一個獨立解——在中心處發散，但在凡是排除了中心的區域都不可或缺。

Y_n(x)，又稱諾伊曼函數，是與 J_n 線性無關的貝塞爾方程第二解。它的標誌性特徵是在原點處的奇異：當 x 趨於 0 時，Y_0(x) 表現得像 (2 除以 pi) ln x，發散到負無窮，而對 n 不小於 1 的 Y_n 以 1 除以 x^n 的方式發散。對大的 x，它同樣變成一個衰減、有相移的正弦：Y_n(x) 約等於 根號(2 除以 pi x) 乘 sin(x 減 n pi/2 減 pi/4)——是類餘弦的 J_n 的正弦搭檔，於是二者一起張成所有振盪的柱形解，正如正弦餘弦張成平直情形。

凡是區域不包含軸 x = 0 之處都需要 Y_n——兩個同軸圓柱之間的場、環形（圈狀）膜的振動、帶中心障礙物的聲學管道，或帶空心芯的波導。把 J_n 與 Y_n 組合成漢克爾函數 J_n 加或減 i Y_n，給出向內和向外傳播的柱面波，是散射與輻射的天然語言。產生兩類函數的貝塞爾方程屬於級數解主題。