傅立葉-貝塞爾級數（Fourier-Bessel series）
/ BESS-uhl /
敲擊鼓面，你看到的圖樣不是正弦波——而是由貝塞爾函數定下的同心圓環。傅立葉-貝塞爾級數把圓盤半徑上的函數展開為一組在邊緣處為零的標度貝塞爾函數之和，是普通傅立葉級數在徑向上的對應物。每當幾何為圓形或柱形、天然的徑向模式是貝塞爾函數時，它就是恰當的基底。
固定階數 m。函數 J_m(alpha_k r / a)（alpha_k 為 J_m 的第 k 個正零點）是 [0, a] 上貝塞爾斯圖姆-劉維爾問題的本徵函數，關於權 w = r 正交：除非 j = k，否則 integral from 0 to a of J_m(alpha_j r/a) J_m(alpha_k r/a) r dr 為零。於是徑向函數 f(r) 展為 f(r) = sum over k of c_k J_m(alpha_k r / a)，係數 c_k 由 f 關於權 r 對 J_m 投影、再除以範數平方得到，後者算得為 (a^2/2) J_{m+1}(alpha_k)^2。一個易忘的關鍵細節是權 r dr——它來自圓盤的面積元，恰是自伴形式所要求的權。
傅立葉-貝塞爾級數正是分離變量法在圓盤或柱體上求解熱方程或波動方程的方式。分離出角向部分（給出 e^{i m theta}）與時間部分後，徑向方程即貝塞爾方程，邊緣處的邊界條件選出零點 alpha_k，初始徑向分佈按傅立葉-貝塞爾級數展開，於是每個模式各自衰減或振盪。該級數像其他斯圖姆-劉維爾展開一樣在均方意義下收斂；在間斷附近呈現同樣的吉布斯過衝，而零點 alpha_k 為無理數，故係數須數值計算。
在單位圓盤上把常數 f(r) = 1 展為零階貝塞爾函數：1 = sum over k of c_k J_0(alpha_k r)，c_k = 2 / (alpha_k J_1(alpha_k))。最前幾個 alpha_k 為 2.405, 5.520, 8.654, ...——這些 J_0 的零點定下振動圓膜的徑向節點。
貝塞爾零點定下鼓面的徑向節點；係數把一個平坦分佈分配到這些環狀模式上。
展開是對單一固定階 m 的零點進行的；右端邊界條件（函數為零，或其導數為零）會改變你所用的零點，而在係數積分中漏掉權 r dr 是這裡最常見的錯誤。