貝塞爾方程
/ Bessel: BESS-ul /
任何在圓形或柱形區域上振動或擴散的事物——鼓面、光纖截面、圓管中的熱、池塘上擴散的漣漪——在分離變量後，其徑向部分都歸結為同一個方程。貝塞爾方程（Bessel's equation）就是那個方程：勒讓德角向方程在徑向上的天然伴侶。它之於柱，正如勒讓德之於球。
它是 x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0，其中 n（階）是參數，x 本質上是縮放後的半徑。原點 x = 0 是正則奇點，所以用弗羅貝尼烏斯方法求解；指標方程 r^2 - n^2 = 0 給出指數 r = +n 與 r = -n。根 +n 產生第一類貝塞爾函數 J_n(x)，它有限、振盪，在中心保持有界。第二個獨立解 Y_n(x)，即第二類貝塞爾函數，在原點處以對數方式發散（這是整數階指標根相差整數的後果），故在任何包含軸線的區域中被捨棄。
這些函數表現得像「衰減的餘弦」：對大的 x，J_n(x) 看上去像一個振幅以 1/sqrt(x) 衰減的餘弦波，刻畫了圓形漣漪如何擴散並減弱。它們的零點確定了鼓的共振頻率與波導的截止模式；J_0 支配著冷卻圓柱中的溫度。貝塞爾方程正因柱對稱性無處不在，而成為整個應用物理中使用最多的方程之一。
半徑為 a、邊緣夾緊的圓鼓面以徑向輪廓為 J_0(k r) 的模式振動。邊界條件 J_0(k a) = 0 迫使 k a 等於 J_0 的某個零點（第一個約為 2.405），這些零點確定了鼓的泛音頻率——這正是為什麼鼓不同於弦，有著非諧的、非整數的泛音序列。
J_0 的零點就是鼓的共振——它們不像弦的諧波那樣等間距。
J_n 不是多項式：與勒讓德或埃爾米特不同，貝塞爾的級數不截斷，所以 J_n 是真正的無窮級數（一個超越函數）。「階」 n 不必是整數——半整數階給出散射中用到的球貝塞爾函數。