弗羅貝尼烏斯方法
/ Frobenius: fro-BAY-nee-us /
在常點處普通冪級數即可解方程；在正則奇點處那種普通級數通常失效，因為解可能發散或帶有分數冪。弗羅貝尼烏斯方法（method of Frobenius）是巧妙的升級：假定一個冪級數乘以一個未知冪 (x - x0)^r，讓方程告訴你 r 必須是多少。它恰好在物理方程最有趣的那些點上拯救了級數解。
在正則奇點附近（取 x0 = 0），假設 y = x^r 乘以 sum（k>=0）a_k x^k，其中 a_0 不為零、指數 r 未知。代入方程，考察 x 的最低冪次：令其係數為零得到指標方程（indicial equation），它是關於 r 的二次方程，兩個根 r1 與 r2 就是允許的首項指數。對每個根再得到一個確定 a_k 的遞推關係。兩個根通常給出兩個獨立解；但當 r1 與 r2 相等、或相差一個整數時，第二個解可能需要附加一個對數項——弗羅貝尼烏斯方法對這種情形也給出了配方。
這一個方法就生成了數學物理中那些以人名命名的函數。貝塞爾方程在原點有正則奇點；在那裡用弗羅貝尼烏斯方法即得貝塞爾函數，包括分數階的 J。超幾何方程與合流超幾何方程也以同樣方式求解。每當柱、球或量子勢阱中的問題在軸線或原點處產生奇點時，弗羅貝尼烏斯方法就是構造在那裡保持有限的、物理有意義的解的工具。
對 2x y'' + y' + y = 0（在 0 處為正則奇點），嘗試 y = x^r sum a_k x^k。最低冪次給出指標方程 2r(r-1) + r = 0，即 r(2r - 1) = 0，所以 r = 0 或 r = 1/2。兩個根相差非整數 1/2，給出兩個獨立的弗羅貝尼烏斯解，其一以 x^{1/2} 起頭——這是普通泰勒級數無法產生的分數冪。
由方程確定的不只是係數，還有指數 r。
弗羅貝尼烏斯方法只在正則奇點處適用。在非正則奇點處它失效（指標機制崩潰），此時需改用 WKB 等漸近方法。另外：當兩根相等或相差整數時，不要默認有兩個乾淨的級數解——要檢查是否被迫出現對數項。