係數遞推關係
一個冪級數解或弗羅貝尼烏斯解有無窮多個未知係數 a_0、a_1、a_2 等等——多到無法一次性全部解出。係數遞推關係（recurrence relation for coefficients）就是把它們聯繫起來的公式：它用一個或多個較早的係數表示每個係數，於是一旦你定下頭一兩個，其餘的便由反覆套用而接連湧出。它是把微分方程變成算術搖柄的引擎。
它直接來自代入。把 y = sum a_k x^k（或弗羅貝尼烏斯形式）代入方程，歸併所有乘以同一冪次 x^k 的項後，要求該係數為零便給出 a 之間的代數關係，例如對 y'' + y = 0 有 a_{k+2} = -a_k/((k+2)(k+1))，或對許多特殊函數方程有形如 a_{k+1} = c_k a_k 的兩項關係。把 a_{k+2} 與 a_k 聯繫起來的關係（「兩步」遞推）把解分裂為偶級數與奇級數；把相鄰係數聯繫起來的（「一步」關係）則構成單一鏈條。你從自由常數出發往前搖。
遞推關係正是特殊函數深層結構藏身之處。對勒讓德、埃爾米特、拉蓋爾方程，遞推有一個奇妙性質：在特殊參數值下，關係使某個 a_k 恰好為零，從此往後每個後續係數也都為零——無窮級數截斷成一個多項式。這一截斷正是勒讓德、埃爾米特、拉蓋爾、切比雪夫多項式的來源，也是（在量子力學中）能量量子化的來源，因為要使級數終止以保持有限的要求，迫使參數取離散值。
埃爾米特方程 y'' - 2x y' + 2 lambda y = 0 給出 a_{k+2} = 2(k - lambda)/((k+2)(k+1)) a_k。若 lambda 等於非負整數 n，則 a_{n+2} = 0，n 以上的整條偶或奇鏈消亡，留下一個 n 次多項式——即埃爾米特多項式。對其他任何 lambda，級數無限延續且增長過快，物理上不可接受。
遞推的終止，正是多項式解與量子化背後的機制。
不要把它與那些命名多項式之間的遞推關係（如聯繫 P_{n+1}、P_n、P_{n-1} 的三項關係）混淆。係數遞推在一個級數內部；多項式遞推在不同次數的整個函數之間。