遞推關係與正交關係
一旦你擁有一整族特殊多項式，兩條結構性定律使它們真正可用，而不只是一張清單。遞推關係把三個連續成員聯繫起來，使你能從前兩個造出下一個；正交關係則說，兩個不同成員在用合適的權函數作積分時是「互相垂直」的。二者合起來就是把一個多項式族變成可用基底的工具箱。
每個經典正交族都滿足形如 p_{n+1}(x) = (A_n x + B_n) p_n(x) - C_n p_{n-1}(x) 的三項遞推；對勒讓德，(n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)。這正是計算機求 P_50 的穩定高效方式——絕不去展開一個 50 次多項式，而總是從 P_0、P_1 沿遞推往上爬。正交關係說，在該族的自然區間上對 p_m(x) p_n(x) w(x) dx 求積分，只要 m 不等於 n 就為零，其中 w(x) 是權函數（勒讓德在 [-1, 1] 上為 1，埃爾米特在全實軸上為 e^{-x^2}，拉蓋爾在 [0, infinity) 上為 e^{-x}）。當 m 等於 n 時，積分給出一個已知的歸一化常數。
正交性正是使這些族成為傅立葉分析中正弦-餘弦系統之類比的性質：任何合理的函數都可展為級數 sum c_n p_n(x)，每個係數 c_n 由單個積分 c_n = (integral of f p_n w) / (integral of p_n^2 w) 求出，正因為交叉項消失。這就是廣義傅立葉展開，也是本領域通往斯圖姆-劉維爾理論的橋樑——在那裡，正交性被證明是底層方程自伴形式的結構性後果，而非僥倖的巧合。
用勒讓德遞推往上爬。從 P_0 = 1、P_1 = x，取 n = 1：2 P_2 = 3 x P_1 - P_0 = 3x^2 - 1，所以 P_2 = (3x^2 - 1)/2。正交性則說從 -1 到 1 對 P_1(x) P_2(x) dx 的積分為零——確實，x 乘以 (3x^2 - 1)/2 在對稱區間上的積分為零，因為被積函數是奇函數。
遞推造出多項式；正交性讓你用它們展開函數。
正交性總是攜帶一個特定的權函數與區間——勒讓德多項式在 [-1, 1] 上以權 1 正交，但埃爾米特需要在全實軸上以權 e^{-x^2} 正交。它們在普通的無權意義下並不正交，所以不指明權函數就說「這些多項式正交」是一個常見且影響後果的疏忽。