勒讓德多項式（Legendre polynomials）
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假設你想用簡單多項式在區間 負 1 到 1 上逼近一個函數，但希望這些基本構件在平均意義下相互獨立——沒有重疊，使每一個都捕捉真正新的資訊。勒讓德多項式恰是這樣一組：在區間 負 1 到 1 上正交的最簡單多項式族，是球面上函數的天然坐標軸。
它們是 P_0 = 1、P_1 = x、P_2 = (3 x^2 減 1)/2、P_3 = (5 x^3 減 3 x)/2，依此類推，其中 P_n 是 n 次多項式。它們的定義性質是帶權 1 的正交性：從 負 1 到 1 對 P_m(x) P_n(x) dx 的積分，當 m 不等於 n 時等於 0。它們可以廉價地生成：羅德里格斯公式 P_n(x) = (1 除以 2^n n!) 乘 (x^2 減 1)^n 的 n 階導數、三項遞推 (n+1) P_{n+1} = (2n+1) x P_n 減 n P_{n-1}，或由生成函數得到。每個都按 P_n(1) = 1 歸一化。
勒讓德多項式是每一個具有球對稱的問題的角向部分：引力或靜電勢的多極展開，實際上就是以極角餘弦為自變量的勒讓德多項式之和，而組織氫原子和宇宙微波背景的球諧函數也由它們構成。在這裡它們被作為一族正交函數編目；它們所滿足的微分方程及其在本徵函數展開中的作用屬於鄰近主題。
檢驗 P_1 = x 與 P_2 = (3 x^2 減 1)/2 的正交性：從 負 1 到 1 對 x 乘 (3 x^2 減 1)/2 dx 的積分 = 0，因為被積函數是奇函數。正是這種互不重疊，讓勒讓德級數能逐個讀出係數。
單位區間上的正交性，是勒讓德多項式成為可用展開基的性質。
這些正交多項式不同於連帶勒讓德函數 P_n^m，也不同於第二類勒讓德函數 Q_n；它們同名卻是不同的對象。