羅德里格斯公式
/ Rodrigues: ro-DREE-gez /
得到經典正交多項式有好幾條路——用級數解方程、展開生成函數、或跑遞推。羅德里格斯公式（Rodrigues' formula）提供了第四條，往往是最俐落的：它以閉形式把整個多項式作為某個簡單表達式的高階導數交到你手上。無需級數、無需遞推——只要求導。
其模式在各族中是統一的。第 n 個多項式 p_n(x) 等於一個常數乘以權函數 w(x) 的倒數，再乘以 (w(x) 乘以某固定函數的 n 次冪) 的 n 階導數。對勒讓德多項式，是優雅的 P_n(x) = 1/(2^n n!) 乘以 (x^2 - 1)^n 的 d^n/dx^n。對埃爾米特多項式，是 H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} 乘以 e^{-x^2} 的 d^n/dx^n；對拉蓋爾，L_n(x) = (e^x / n!) 乘以 (x^n e^{-x}) 的 d^n/dx^n。每種情形都是取一個光滑的種子，求導 n 次，一個 n 次多項式便蹦出來。
羅德里格斯公式不止是計算捷徑——它使最深刻的性質，即正交性，幾乎一目了然。由於該多項式是 n 重導數，把 p_n 與任意更低次多項式相乘求積分，再反覆分部積分，會把所有 n 個導數都挪到低次因子上，而它不到 n 步就被微分為零；積分因此為零。所以該公式給出一行證明：在權 w 下，p_n 與每個更低次多項式正交。它是從微分方程通往一個正交族最乾淨的單一橋樑。
用羅德里格斯公式算 P_2：取 (x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1，求導兩次得 12x^2 - 4，乘以 1/(2^2 乘以 2!) = 1/8，得 (12x^2 - 4)/8 = (3x^2 - 1)/2 = P_2(x)。同樣的配方用 n 次導數就給出每個勒讓德多項式。
把 (x^2 - 1)^n 求導 n 次並歸一化——P_n 便出來了。
這種乾淨的「n 階導數」形態的羅德里格斯公式只對經典族存在（勒讓德、埃爾米特、拉蓋爾，以及對雅可比的推廣版本）。它並非對每一組正交多項式都通用的技巧，而且歸一化常數因族而異。