埃爾米特方程
/ Hermite: air-MEET /
量子諧振子——拋物勢中的一個粒子，分子鍵振動以及量子場論中每個場模的模型——其薛定諤方程在剝去一個高斯因子後，歸約為一個乾淨的方程。埃爾米特方程（Hermite's equation）就是那個方程：振子波函數的多項式核心。
它是 y'' - 2x y' + 2 lambda y = 0，沒有有限奇點（實軸上每點都是常點），所以在 x = 0 處用普通冪級數求解。遞推 a_{k+2} = 2(k - lambda)/((k+2)(k+1)) a_k 把結構展露無遺：對一般的 lambda，級數無限延續且像 e^{x^2} 那樣增長，再乘回高斯波函數因子後仍然發散——物理上被禁止。唯一的出路是讓級數終止，這恰好在 lambda 為非負整數 n 時發生；此時 a_{n+2} = 0，解成為 n 次埃爾米特多項式 H_n(x)。
這個終止條件是整個物理中說明「邊界條件如何把連續參數量子化」的最乾淨例子：要求一個可歸一化（有限能量）的波函數，迫使 n 取整數，振子的能級 E = (n + 1/2) 乘以 h-bar omega 便直接落下。H_0 = 1、H_1 = 2x、H_2 = 4x^2 - 2 等等，正是振子基態、第一激發態及更高態的多項式部分。埃爾米特函數也出現在概率論（高斯矩、埃奇沃思展開）與信號處理中。
對 lambda = 2，方程 y'' - 2x y' + 4 y = 0 截斷後給出 H_2(x) = 4x^2 - 2。完整的振子波函數是這個多項式乘以高斯因子 e^{-x^2/2}；多項式提供了第二激發態的兩個節點（變號點）。
多項式次數 n 等於節點數——它直接就是量子數。
H_n 有兩套並存的歸一化約定（權函數為 e^{-x^2} 的「物理學家」埃爾米特多項式，與權函數為 e^{-x^2/2} 的「概率學家」He_n）。二者相差 x 的一個縮放和一個常數因子——使用公式時務必確認它假定的是哪一套。