厄米多項式（Hermite polynomials）
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勒讓德多項式活在有限區間上；但許多物理問題活在整條實軸上，並最關心一個像高斯鐘形那樣衰減的峰附近的行為。厄米多項式就是在整條直線上對高斯權重 e^{-x^2} 正交的多項式族——凡有鐘形包絡出現之處的天然基。
在物理學家的約定下它們是 H_0 = 1、H_1 = 2x、H_2 = 4 x^2 減 2、H_3 = 8 x^3 減 12 x，其中 H_n 是 n 次多項式。它們的正交性寫作 從 負無窮到無窮 對 H_m(x) H_n(x) e^{-x^2} dx 的積分 = 0（當 m 不等於 n），權重 e^{-x^2} 正是制服無窮遠處增長的多項式的因素。它們遵循羅德里格斯公式 H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} 乘 e^{-x^2} 的 n 階導數、遞推 H_{n+1} = 2 x H_n 減 2 n H_{n-1}，以及一個生成函數。另有一種機率學家的約定使用權重 e^{-x^2/2}，給出略有不同的多項式 He_n。
厄米多項式是量子諧振子的代數骨架：能量本徵態是 H_n(x) 乘一個高斯，所以每一個振動的分子、每一個光子模式以及量子場論的形式體系都帶著它們。它們還生成雷射束的厄米-高斯橫模，並支撐高斯-厄米數值積分。在這裡它們作為函數編目；它們所滿足的振子微分方程屬於級數解主題。
量子諧振子的基態用 H_0 = 1，第一激發態用 H_1 = 2x；H_1 的唯一節點（x = 0 處的零點）正是第一激發態波函數消失的那一點。
H_n 的零點個數等於 n，這正是第 n 個振子態的節點數。
並存兩種約定：物理學家的 H_n（權重 e^{-x^2}）和機率學家的 He_n（權重 e^{-x^2/2}）。二者相差一個縮放，所以總要確認公式假定的是哪一種。