拉蓋爾多項式（Laguerre polynomials）

有些問題既不在有限區間上，也不在整條直線上，而在從 0 到無窮的半直線上，並由一個衰減指數設定尺度——想想從原子核向外的徑向方向。拉蓋爾多項式就是在正半直線上對權重 e^{-x} 正交的多項式族，是那種幾何的天然基。

它們是 L_0 = 1、L_1 = 1 減 x、L_2 = (x^2 減 4 x 加 2)/2，依此類推。正交性寫作 從 0 到無窮 對 L_m(x) L_n(x) e^{-x} dx 的積分 = 0（當 m 不等於 n）；權重 e^{-x} 既提供使積分收斂的衰減，又編碼了半直線幾何。它們遵循羅德里格斯公式 L_n(x) = (e^x 除以 n!) 乘 (x^n e^{-x}) 的 n 階導數、一個三項遞推，以及一個生成函數。當存在額外的 x 冪時，會出現以權重 x^{alpha} e^{-x} 正交的廣義族 L_n^{alpha}。

廣義拉蓋爾多項式是氫原子波函數的徑向部分——那個關於半徑的精確多項式，乘以一個指數後給出 s、p、d 軌道的形狀。它們還驅動針對正半軸上帶指數因子積分的高斯-拉蓋爾數值積分，並出現在振動光譜和量子光學中。在這裡它們列入正交多項式族；其生成方程屬於級數解主題。