冪級數法
許多微分方程沒有用初等函數寫出的解，但物理仍然需要答案。冪級數法（power-series method）說：不要去找公式，而是一個係數一個係數地把答案搭起來。你假定解是一個無窮多項式——一個冪級數——把它代入方程，讓方程本身決定每一個係數。它是在常點附近求解線性常微分方程的主力工具。
做法是機械的。圍繞常點 x0 寫 y = sum（k>=0）a_k (x - x0)^k。逐項求導得到 y' 和 y''，把三者都代入方程，按 (x - x0) 的冪次歸併，並要求每個冪次的係數為零（因為整個和必須恆等於零）。這給出一個遞推關係，用前面的係數表示每個 a_k。你可以自由選取 a_0 和 a_1（二階方程的兩個任意常數，由初始條件確定）；之後每個係數都由遞推算出。結果是兩個獨立解，呈顯式的、收斂的級數。
這正是艾里方程 y'' = x y、簡諧方程、以及勒讓德、埃爾米特、切比雪夫方程的解析部分在有人為多項式命名之前的真實求法。它的優點是普遍與誠實：在常點處它總是奏效，級數收斂，截斷後給出可用的數值近似，誤差可控。它的局限在於級數只保證在 x0 附近收斂（直到最近的奇點），而且它本身不處理奇點——對奇點要升級為弗羅貝尼烏斯方法。
用級數解 y'' + y = 0。令 y = sum a_k x^k；代入得遞推 a_{k+2} = -a_k/((k+2)(k+1))。取 a_0 = 1、a_1 = 0 得到 1 - x^2/2! + x^4/4! - ... = cos x；取 a_0 = 0、a_1 = 1 得到 x - x^3/3! + ... = sin x。該方法僅憑方程就重建出了熟悉的三角函數。
兩個自由常數 a_0、a_1 生成兩個獨立解。
下標平移是大多數錯誤潛伏之處：把 y'' 寫成級數後，要重新編號使每一項都帶相同的冪次 (x - x0)^k，然後再令係數相等，否則會歸併錯項。