常點與奇點

在用冪級數求解微分方程之前，你想知道哪些點是友好的、哪些是危險的。對二階線性方程而言，常點（ordinary point）是方程表現良好、可以放心地把解展開成泰勒級數的地方；奇點（singular point）則是方程中某處發散、樸素級數可能失效的地方。這有點像開車前先問問前方的路是平整的柏油路還是坑窪。

把方程寫成標準形式 y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0，即除掉首項係數後的形式。若 P(x) 和 Q(x) 在 x0 處都解析，即各自在 x0 附近有收斂的泰勒展開，則 x0 是常點；若 P 或 Q 在 x0 處不解析——通常是因為原方程的首項係數在該處為零、你除以了零——則 x0 是奇點。例如對 x^2 y'' + x y' + (x^2 - n^2) y = 0（貝塞爾方程），除以 x^2 得 P(x) = 1/x、Q(x) = 1 - n^2/x^2，二者在 x = 0 處都發散，所以 x = 0 是奇點；其餘各點都是常點。

這一區分並非繁文縟節：它決定你該用哪種工具。在常點處，普通冪級數 y = sum a_k (x - x0)^k 有效，並給出兩個獨立的解析解。在奇點處通常不能直接代入泰勒級數——解可能含分數冪、對數、或真正的發散——所以需要更細緻的弗羅貝尼烏斯方法，而且只有當奇異性足夠溫和（正則奇點）時才行。物理學中那些以人名命名的方程——勒讓德、貝塞爾、埃爾米特——之所以有趣，正是因為它們的奇點恰好位於物理所在之處（球的極點、柱的軸線）。