正則奇點

奇點分兩個等級：溫和的和狂野的。正則奇點（regular singular point）是奇異性足夠溫和的奇點，使得解仍具有可控的、只是略微破缺的形式——一個冪級數乘以 (x - x0) 的某個（可能是分數）冪，也許還帶一個對數。非正則奇點（irregular singular point）則真正狂野，那裡的解可能含有本性奇點（如 e^{1/x}），任何這種溫和的擬設都無法刻畫。這一區分告訴你能否使用弗羅貝尼烏斯方法。

具體地，把方程寫成 y'' + P(x) y' + Q(x) y = 0。奇點 x0 是正則的，當且僅當兩個乘積 (x - x0) P(x) 和 (x - x0)^2 Q(x) 都在 x0 處解析——也就是說 P 的發散不超過 1/(x - x0)，Q 的發散不超過 1/(x - x0)^2。若任一乘積仍發散，則 x0 是非正則的。其要旨是：給 P 乘一個 (x - x0) 冪、給 Q 乘兩個，恰好足以消去允許範圍內最壞的奇異性，留下一個有限的、定義良好的指標方程。

這是通向物理學中幾乎每個特殊函數方程的門戶。貝塞爾方程在 x = 0 處有 P = 1/x、Q = 1 - n^2/x^2；於是 x P = 1、x^2 Q = x^2 - n^2 都解析，所以 x = 0 是正則奇點——這正是弗羅貝尼烏斯方法奏效、貝塞爾函數得以作為級數存在的原因。勒讓德方程同樣在 +1 與 -1 處有正則奇點。認出「正則奇點」就是綠燈，表示你可以去找弗羅貝尼烏斯形式 (x - x0)^r 乘以冪級數的解。