勒讓德方程
/ Legendre: luh-ZHAHND /
當你求解具有球對稱性的問題——地球的引力場、帶電球周圍的電勢、量子氫原子——並分離變量時，極角部分總是產生同一個微分方程。勒讓德方程（Legendre's equation）就是那個方程：球面上角向依賴的主方程。把它解一次，就知道了一個場在球面上能取的自然「形狀」。
它是二階線性方程 (1 - x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0，其中 x 通常代表 cos(theta)，故物理範圍為 -1 <= x <= 1，n 是參數。它的奇點恰好位於 x = +1 與 x = -1——北極與南極——且為正則奇點。在 x = 0 處用冪級數求解得到的遞推，對一般的 n 會無限延續並在兩極發散。補救之道是要求解在兩極都有限，這迫使 n 取非負整數；於是級數截斷，有限的解就是勒讓德多項式 P_n(x)。第二個獨立解 Q_n(x) 在兩極無界，在包含整個球面的問題中被捨棄。
這就是為什麼物理中的多極展開——單極、偶極、四極——是用勒讓德多項式搭起來的，也是為什麼球諧函數（它們的雙角推廣）描述了原子軌道、宇宙微波背景和引力大地水準面。值得記住的是其結構性教訓：這裡的量子化（整數 n）並非人為強加，而是從「解在幾何有奇點處須保持有限」這唯一的物理要求中湧現出來的。
取 n = 2：方程 (1 - x^2) y'' - 2x y' + 6 y = 0 有多項式解 P_2(x) = (3x^2 - 1)/2，在 [-1, 1] 上處處有限。其第二解 Q_2 含形如 ln((1+x)/(1-x)) 的對數項，在兩極發散，故在全球面問題中被捨去。
要求在兩極有限，便選出多項式 P_n 並把 n 量子化。
P_n 是該方程的多項式解；不要把方程等同於多項式。完整解空間是二維的（P_n 與 Q_n）；多項式只是保持有限的那一支，而且只在 n 取特殊整數值時才有。