拉普拉斯方程

把肥皂膜繃在金屬絲環上，它會安頓成跨越金屬絲的最光滑曲面——沒有凸包、沒有凹坑，每個內部點都坐在其鄰居的平均高度上。把金屬板的邊緣固定為某些溫度並等待：穩態的內部溫度做著同樣的平均。所有這類平衡場所遵從的方程就是拉普拉斯方程，最重要的橢圓型偏微分方程，也是勢論背後的源方程。

它寫作 nabla^2 u = 0，其中 nabla^2 是拉普拉斯算子（二維下為 u_xx + u_yy，三維下為 u_xx + u_yy + u_zz）。把它讀作這樣一句話：在每一點處，各方向曲率之和為零——凡在某方向向上彎曲，就必在另一方向恰好向下彎曲同樣的量，所以沒有任何點能是嚴格的局部極大或極小。拉普拉斯方程的解稱為調和函數，它們有一個優美的平均值性質——任一點的值等於以它為心的任一球面上諸值的平均。這正是極值原理的確切內容：極值只能出現在邊界上。

拉普拉斯方程是物理中穩態、無源的核心：無電荷區域裡的靜電勢、真空中的引力勢、無內部源的穩態熱、不可壓縮無旋流動的速度勢，以及任何複變量解析函數的實部與虛部（這正是為什麼複分析與二維勢問題是同一門學問）。在右端加上一個源就把它變成泊松方程；把源置零，正是讓問題成為純粹平衡問題的原因。