應用複分析
調和函數（harmonic function）
把肥皂膜張在一個金屬環上，或讓熱量在金屬板裡安頓到一切不再變化，或描出無電荷空間中的電勢。每種情形下得到的場都是調和函數：它在任一點的值等於它在該點四周一個小圓上諸值的平均。它沒有任何並非由邊界逼出的局部凸起或凹陷——它是對邊緣所規定數值的最平滑插值。
精確地說，實函數 u(x, y) 在某區域上調和，是指它在那裡有連續二階導數並滿足拉普拉斯方程 nabla^2 u = d^2u/dx^2 + d^2u/dy^2 = 0。平均性質是一條定理：任何圓盤中心處的值等於其邊界圓上的均值。由此流出最大值原理——調和函數只在邊界上取得最大與最小值，絕不嚴格落在內部——這正是為何無電荷區域內部沒有勢的峰，而受熱板內部最熱點不會超過其邊緣。
複分析為調和函數鋪了一條坦途。柯西-黎曼方程迫使每個解析函數的實部與虛部都調和，於是每個解析 f(z) 一次便供出兩個調和函數。反過來，在平面上每個調和函數都是某個解析函數的實部。這就是為什麼二維靜電學、穩態傳熱與理想流體流動都能用解析函數與共形映射這套機器求解，而不必硬碰硬地直接啃那偏微分方程。
u(x, y) = x^2 - y^2 是調和的：d^2u/dx^2 = 2 而 d^2u/dy^2 = -2，故和為零。它是解析函數 f(z) = z^2 的實部，其虛部 v = 2xy 是它的調和共軛。等值線 x^2 - y^2 = 常數 與 2xy = 常數 處處正交相交——這是調和對的標誌。
每個解析函數都免費交出一個調和的實部和一個調和的虛部。
調和不等於光滑，也不等於極小：調和函數是一種鞍狀的平衡，絕無嚴格的內部極大或極小。此外，與解析函數那乾淨的二維聯繫是平面特有的——三維中調和函數依然存在，卻不是複解析函數的實部。
又稱
另見