解析函數（analytic function）

在實分析裡，一個函數可以只可導一次而不可導兩次，或者光滑卻暗藏意外。一旦走進複平面，一種驚人的剛性便浮現出來。解析函數是指在某個開區域內每一點都在複意義下可導的複函數 f(z)。僅僅這一條要求——無論從哪個方向逼近，導數都給出同一個數——就強大得出奇，本領域幾乎所有有力工具都由它流出。

複可導意味著當 h 趨於零時，極限 (f(z + h) - f(z))/h 無論 h 沿實軸、虛軸還是任何螺線逼近都給出同一答案。這是一個真實的約束，因為在平面上逼近的方向有無窮多個，而不只是兩個。要求它們全都一致，就迫使 f 的實部與虛部通過柯西-黎曼方程相互鎖定。隨之而來一個奇蹟：在此意義下僅可導一次的函數自動可導無窮多次，並在區域內任一圓盤上等於自身的泰勒級數。可導一次即解析；解析即剛性而可預測。

解析函數是數學物理與工程的工作材料：勢、流體速度場、電磁場以及信號變換，凡在其支配方程成立之處，都以解析函數的形式存在。它們的剛性正是其有用之處——只要知道 f 在一小塊區域上、甚至僅在一條邊界曲線上的值，就把它在各處都釘死了；而在實軸上看似不可能的積分，一旦視作解析函數的取樣，便迎刃而解。