洛朗級數（Laurent series）
/ loh-RAHN /
泰勒級數在函數表現極好的點附近描述解析函數，只用非負冪 (z - a)^0, (z - a)^1, ...。可是在函數發散的點附近該怎麼辦，比如原點附近的 1/z？洛朗級數便是答案：它是把泰勒級數推廣到也允許負冪，從而即便在奇點周圍也能給出局部描述。它是你藉以讀出任何孤立奇點本性的顯微鏡。
在點 a 周圍、在一個環形區域（函數解析的圓環）上，洛朗級數是從 n 等於負無窮到正無窮的和 c_n (z - a)^n。含正冪的部分像普通泰勒級數；含負冪的部分——主部——刻畫那發散。最重要的單個係數是 c_{-1}，即 1/(z - a) 的係數：它就是留數，是把級數沿迴路積分時唯一存活的項，因為 (z - a)^n 的迴路積分對除 n = -1 外的每個 n 都為零，而在 n = -1 時為 2 pi i。留數演算裡的一切，歸根結底都是提取這一個數。
洛朗級數是給奇點分類的診斷工具：無負冪意味著可去奇點，有限多個負冪意味著極點，無窮多個負冪意味著本性奇點。在應用中你很少從定義積分去算它；而是藉複用已知展開來搭建它——1/(1 - z) 的幾何級數、指數級數、部分分式——然後直接讀出留數。那留數正是你餵給留數定理、用以攻破實積分與逆變換的東西。
把 f(z) = e^z / z^2 在 z = 0 附近展開。用指數級數 e^z = 1 + z + z^2/2 + z^3/6 + ... 除以 z^2：f(z) = 1/z^2 + 1/z + 1/2 + z/6 + ...。主部有兩個負冪項，故 z = 0 是二階極點，而留數（1/z 的係數）為 1。
複用已知級數再相除，便一眼得出洛朗展開與留數。
同一點周圍、在不同圓環上，一個函數有不同的洛朗級數——例如一個對小的 |z| 有效，另一個對大的 |z| 截然不同。你必須言明所指的是哪個圓環；在錯誤的圓環上讀留數會得出錯誤答案。