柯西積分公式（Cauchy's integral formula）
/ KOH-shee /
這是全部數學中最令人驚嘆的事實之一：對解析函數而言，沿邊界迴路上的值完全決定了內部每一點的值。知道 f 在邊緣上的情況，你就精確地知道 f 在整個內部的情況。柯西積分公式正是由邊界重建內部的精確配方，也是解析函數何以如此剛性、如此可計算的緣由。
公式陳述：若 f 在正向簡單閉圍道 C 上及其內部解析，則對內部任一點 a，f(a) 等於 1/(2 pi i) 乘以 f(z)/(z - a) dz 沿 C 的圍道積分。被積函數在 z = a 處有單極點，除以 z - a 正是提取該處值的手段；繞該極點一圈乘上 2 pi i，被前置因子抵消。在積分號下求導還有附贈：同一份邊界數據給出每一階導數，f^(n)(a) = n!/(2 pi i) 乘以 f(z)/(z - a)^{n+1} dz 的積分。這就是解析函數自動無窮可導的原因——公式從邊界值製造出它們的所有導數。
其應用後果是深刻的。它證明了勢論中用到的均值性質與最大模性質，支撐泰勒級數的誤差界，並給出一種數值穩定的求導法——繞一個圓積分（避開困擾有限差分的相消）。它是一般留數定理由之生長的特例（單極點，留數 f(a)），在概念上更是全息思想的種子：完整的內部信息儲存於一個更低維的邊界之上。
要求 e^z/(z - 1) 沿以原點為心、半徑為 2 的圓的積分，識別它為柯西公式，取 f(z) = e^z、a = 1（落在圓內）。答案是 2 pi i 乘 f(1) = 2 pi i 乘 e^1 = 2 pi e i。邊界積分把內部值 e^1 交還，無需再多做。
公式直接從一個邊界積分讀出內部值——無需原函數。
點 a 必須嚴格落在圍道內部，且 f 須在包含 a 的整個所圍區域上解析。若 a 在迴路之外，積分反為零（由柯西定理）；若 f 在內部另有奇點，則進入留數定理的地界，必須把它一併計入。