應用複分析
柯西積分定理（Cauchy's integral theorem）
/ KOH-shee /
想像你沿一條閉合迴路行走，邊走邊把某量累加，最後回到起點。對某些量，這累加完美地自相抵消，什麼都不剩。柯西積分定理說，解析函數沿任何不圈住麻煩的閉合迴路的圍道積分，正是如此：這趟來回的總和為零。它是奠基性的事實，應用複分析幾乎每一項技巧都由它構築而成。
其陳述為：若 f(z) 在一條簡單閉圍道 C（無自交的迴路，函數在所圍區域內處處光滑）上及其內部處處解析，則 f(z) dz 沿 C 的積分等於零。其直覺是守恆，是保守力場繞迴路不做淨功的複回聲；柯西-黎曼方程恰是令相關實線積分路徑無關的條件。一個有力推論是圍道形變：既然界定一個解析區域的閉合迴路上的積分為零，你便可在任何 f 解析的區域內自由地滑動、拉伸圍道而不改變積分，把它折成任何方便的形狀。
這條定理是一切圍道技巧背後的許可證。它讓你把彆扭的積分路徑換成容易的，把圍道推向無窮遠處（那裡被積函數消亡），並把迴路收縮到奇點周圍。當所圍區域確實含有奇點時，定理不再給出零——但這受控的失效本身就是獎賞，它直接通向柯西積分公式與留數定理。知道 f 在何處解析，就知道你在何處有挪動的自由。
把 f(z) = z^2 沿單位圓積分。由於 z^2 處處解析（多項式，無奇點），柯西定理說迴路積分為零——直接計算也確認如此。但把 1/z 沿同一圓積分卻得 2 pi i 而非零，恰因 1/z 在迴路內 z = 0 處有奇點，定理的前提失效。
不圈住奇點便得零；圈住了奇點，積分才正變得有趣。
定理既要求在整個所圍區域內解析，又要求區域無洞（單連通）。在帶洞的域上——例如圍住一個奇點的圓環——迴路積分未必為零，而這恰是留數與對數的 2 pi i 溜進來的方式。
又稱
另見