保守場
有些力場以一種精確的方式很經濟：它們把你從一處移到另一處所做的功，只依賴於你從哪裡出發、在哪裡結束，而絕不依賴於中間走的風景路線。無論你沿哪條小徑從大本營登上頂峰——對保守場而言，總功都一樣。這樣的場會守恆一個可以賦給每個位置的量（一種能量），這正是它得名的由來。
向量場 F 是保守的，當且僅當它是某個純量場的梯度：F = grad phi，phi 是一個勢。在足夠好的（單連通）區域上，有若干等價條件：F 是某個梯度；F 的線積分與路徑無關；繞每個閉迴路的線積分為零；以及處處 curl F = 0（場無旋）。把它們串起來的是梯度定理，它說 integral over C of grad phi dot dr = phi(終點) - phi(起點)。在二維中，實用的判據是交叉偏導條件 partial P/partial y = partial Q/partial x。
保守場正是能量守恆得以成立的原因。引力與靜電場是保守的，所以我們能把引力勢能和電勢能說成位置的良定義函數；下落物體獲得的動能只依賴於下落的高度。勢、電壓與能量圖的整套機制都建立在保守性之上，而認出一個場是保守的，能把一個困難的線積分坍縮成兩個勢值的簡單相減。
F = (2 x y, x^2) 通過判據 partial(2xy)/partial y = 2x = partial(x^2)/partial x，所以它是保守的，勢為 phi = x^2 y；從 (0,0) 到 (1,1) 的功是 phi(1,1) - phi(0,0) = 1，沿任意路徑都一樣。
通過交叉偏導判據、找到勢，線積分就變成一行的相減。
curl F = 0 只在單連通區域上才保證保守性；在有洞的區域上（如平面去掉原點），無旋場仍可能繞洞有非零環量，從而不是保守的——渦旋場 (-y, x)/(x^2 + y^2) 是標準的警示例子。