路徑無關性

假設兩個徒步者從同一個登山口出發、到達同一個觀景點，但一個走陡峭筆直的山脊，另一個走繞來繞去的之字形長路。如果某個累積量——比如說，克服重力所做的總功——儘管路線不同，對兩人卻算出相同的值，那麼這個量就是與路徑無關的。路徑無關性就是這樣一種線積分的性質：它的值只依賴於曲線的端點，而不依賴於曲線本身。

對向量場的線積分 integral over C of F dot dr，路徑無關性等價於 F 是保守的——即 F = grad phi，phi 是某個勢。這個等價是雙向的：若 F 是某個梯度，梯度定理使積分等於 phi(終點) - phi(起點)，這顯然與路線無關；反過來，若兩點間沿每條路徑積分都相同，你就能從一個固定基點出發積分來定義一個勢。路徑無關性還等價於閉迴路積分為零：若繞每個迴路的積分都為零，那麼任意兩條端點相同的路徑（它們合起來構成一個迴路）就必然給出相同的值。

路徑無關性正是使勢能成為有意義概念的東西。因為引力從 A 到 B 所做的功與路徑無關，某點的引力勢能才是良定義的；電勢（電壓）也同理。在熱力學中，對應物是態函數：內能與路徑無關（是狀態的性質），而過程中的熱與功則不是。發現路徑無關性往往是計算線積分最快的途徑，因為你可以用任何方便的路徑替換給定的困難路徑。