線積分

普通積分在 x 軸上一段筆直的區間上對一個函數求和。線積分則改為沿空間中一條彎曲的路徑求和——想像你走在蜿蜒的山路上，把你所經歷的海拔（或陡度，或頂頭風）按你每一步的長度加權累加起來。這種積分是沿著曲線穿行，而不是沿著坐標軸。

它有兩種形式。純量場 f 沿曲線 C 的線積分，寫作 integral over C of f ds，把 f 的值乘以微小弧長片段 ds 累加起來；它計算諸如密度變化的導線總質量之類的東西，並不在意你朝哪個方向走。向量場 F 沿 C 的線積分，寫作 integral over C of F dot dr，只累加 F 沿路徑方向的那一部分——即每一步的點積 F dot dr——而這一種在你反向時會變號。要計算兩者中的任一種，你都把曲線參數化為 r(t)，代入，並把一切化為關於 t 的普通一元積分：對向量形式，就是 integral of F(r(t)) dot r'(t) dt。

線積分是沿路線累積的微積分。向量線積分恰恰就是力沿路徑所做的功，這個核心量打開了通往保守場、勢函數與梯度定理的大門。環量——速度場或力場繞閉迴路的線積分——正是格林定理與斯托克斯定理與旋度相聯繫的量。沒有線積分，那些偉大的積分定理甚至無法被表述。