格林定理
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沿一塊平面區域的邊界逆時針走一圈，一邊走一邊累加一個向量場把你沿路推動了多少——這就是繞迴路的環量。格林定理給出一個出人意料的論斷：那個邊界總量等於場局部旋轉（即旋度）在整個內部的聚集。邊緣上的行為完全由內部所發生的事決定，反之亦然。
確切地說，對平面區域 D 上的向量場 F = (P, Q)，其邊界曲線 C 取正定向，格林定理說沿 C 的線積分 P dx + Q dy 等於在 D 上的二重積分 (partial Q/partial x - partial P/partial y) dA。右邊的被積量恰恰是 F 在平面上的（純量）旋度。換一種讀法——把 P 和 Q 調換進散度裡——同一個定理說 F 向外穿過邊界的通量等於 div F 在區域上的二重積分。所以格林定理既有環量形式又有通量形式，是斯托克斯定理與散度定理在二維的投影。
格林定理是三大定理中的第一個，也是它們全部的模板：它用較容易的面積積分換掉較難的邊界積分（或反過來）。一個著名推論是求面積的求積儀公式，面積 = (1/2) 沿 C 的線積分 (x dy - y dx)，它純粹靠繞區域邊緣走一圈就算出區域的面積——這正是測量員當年沿地圖輪廓滾動的機械求積儀背後的原理。它也是二維流體流動以及簡化平面線積分的主力工具。
對 F = (-y, x) 繞單位圓，線積分是 2 pi（前面算過）。格林定理立刻驗證它：partial Q/partial x - partial P/partial y = 1 - (-1) = 2，而 2 在單位圓盤上的二重積分是 2 乘以 pi = 2 pi。
迴路積分與旋度的面積積分相符——正是格林定理所保證的。
格林定理要求邊界取正定向（區域在你左側，外邊界逆時針），且場在整個 D 上光滑；若 F 在區域內有奇點——如原點處的渦旋場——你必須用一條內邊界把它挖掉，跳過這一步是最常見的錯誤。