斯托克斯定理
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把格林定理從平坦的平面裡抬起來，舉到三維空間中，那裡迴路所圍的不是一塊平面片，而是一張張在它上面繃開的彎曲曲面，就像金屬環上的肥皂膜。斯托克斯定理說，一個向量場繞邊緣的環量，等於穿過任何張在該邊緣上的曲面的場的總旋度。邊緣上的旋轉就是整張膜上聚集起來的旋轉。
確切地說，若 S 是以曲線 C 為邊界的有向曲面，則沿 C 的線積分 F dot dr 等於在 S 上的通量積分 (curl F) dot n dS。左邊是繞邊界的環量；右邊是旋度穿過曲面的通量。一個驚人的特點是答案不依賴於你所選的張成曲面——任意兩個邊界相同的曲面給出相同的旋度通量，因為它們之差是一個閉曲面，而 div(curl F) = 0。定向必須一致：邊界按相對於曲面法向的右手定則走過。
斯托克斯定理是電磁學環量定律的引擎。法拉第定律與安培定律通常以它們的旋度（微分）形式書寫，但它們的積分形式——繞迴路的電動勢等於穿過它的磁通量的變化率，繞迴路的磁場環量等於所圍的電流——恰恰就是斯托克斯定理應用於 curl E 與 curl B。它也是單連通區域上無旋場為何保守的概念原因：每個迴路都張成一張曲面，而旋度為零使每個環量都消失。
設 F = (-y, x, 0)，C 是 xy 平面上以平面圓盤 S 為界的單位圓。環量是 2 pi（同前）；斯托克斯定理與之相符，因為 curl F = (0, 0, 2)，向上的法向是 (0, 0, 1)，所以旋度的通量是 2 乘以圓盤面積 pi = 2 pi。
繞邊緣的環量等於旋度穿過任意張成曲面的通量——這裡是那塊平面圓盤。
曲面與它的邊界必須按右手定則相容地定向，且場在曲面上必須光滑；選錯定向會使符號反號，而當一個有奇點的場穿過迴路（以致沒有光滑的張成曲面能避開它）時，樸素地套用定理會失效。