通量積分
把一個圈舉在水流裡，問每秒有多少水穿過它。如果你把圈正對著水流，就有大量水流過；把它轉成側對，就幾乎沒有。通量就是對任意向量場和任意曲面回答這個問題的答案：淨穿過曲面的場的量，只數真正穿透的那部分，不數沿著曲面滑過的那部分。
向量場 F 穿過有向曲面 S 的通量是曲面積分 integral over S of F dot n dS，其中 n 是給曲面指定其「正」側的單位法向量，dS 是面積元。點積 F dot n 只保留 F 垂直於曲面的那部分——恰恰是穿透曲面的那部分——所以平行於曲面流動的場貢獻零通量。參數化形式下，這就是 integral over the parameter region of F dot (r_u cross r_v) du dv，其中叉積一舉提供了法向方向與面積縮放。
通量是一半偉大定理與大量物理的物理含義。由高斯定律，電場穿過閉曲面的通量等於所圍電荷除以 epsilon_0；流體速度場穿過曲面的通量是單位時間穿越的體積；熱通量度量穿越邊界的能量。散度定理恰恰就是這樣一個陳述：從閉曲面流出的總通量等於內部散度的積分——通量與散度是同一思想在兩個尺度上的體現。
徑向場 F = (x, y, z) 向外穿過單位球面的通量是 integral over S of F dot n dS。在球面上 F dot n = 1（場已經是法向的，長度為 1），所以通量等於表面積 4 pi——這與散度定理一致，因為 div F = 3 乘以球的體積 4 pi/3 也是 4 pi。
球面的向外通量 4 pi 與散度的體積積分相符——一行就是散度定理。
通量依賴於你所選的定向：選相反的法向會使它變號，而像莫比烏斯帶這樣的不可定向曲面根本沒有一致的法向，所以那裡的通量根本無定義。報告通量之前，務必說明曲面朝哪個方向定向。