向量場

現在想像房間裡每一點上不是一個數，而是一支小箭頭：風在每個位置都有速度和方向，河裡的水這裡這樣流、那裡那樣流。向量場給空間的每一點繫上一個向量——一個既有大小又有方向、並且隨位置光滑變化的量。風速、流體的流動、作用在試驗質量上的引力、電場與磁場：全都是向量場。

在坐標下，向量場寫作 F(x, y, z) = (P, Q, R)，即三個普通的純量場 P、Q、R，給出沿 x、y、z 軸的分量。你可以把它畫成一片箭頭之林，或描出它的場線——處處與箭頭相切的曲線，就像穿過流動的流線。兩個派生量度量箭頭的行為：散度 div F 問這個場是否從某點向外散開（源）或向某點堆聚（匯）；旋度，記作 curl F 或 nabla cross F，問這個場繞某點旋轉或環流的程度。它們與梯度一道，都由同一個 del 算子 nabla 構成。

向量場是整門學科的核心對象。第一卷介紹了它們；在這裡它們成為流體力學（流動的速度場）、電磁學（馬克士威方程組是關於 E 與 B 的散度和旋度的陳述）與引力的語言。那些偉大的積分定理——格林定理、斯托克斯定理與散度定理——恰恰是把關於向量場的局部資訊（它的散度或旋度）轉換成整體資訊（總通量或環量）、以及反過來轉換的規則。