純量場

想像你站在房間裡的任意位置看溫度計：每一點都有一個數，就是溫度。純量場恰恰就是這樣——一條規則，給空間（或平面）的每一點賦一個單獨的數。大氣中的氣壓、發光燈絲的亮度、地圖上的海拔、電荷周圍的電勢：每一個都是純量場，是只有大小、沒有方向的量。

形式上，純量場是一個函數 f(x, y, z)，它接收一個位置、返回一個實數。它的幾何由它的等值面（或等值線）刻畫——也就是 f 取常數值的那些曲面（或曲線），就像天氣圖上的等溫線或地形圖上的等高線。如果它可微，這個場就是光滑的；它在每一點最陡上升的速率與方向由它的梯度，即向量場 grad f，記錄下來。所以一個純量場自然就孕育出一個向量場。

純量場是向量微積分的起始原料。物理中許多最重要的向量場都是某個純量的梯度——引力來自引力勢，靜電力來自電勢——而認出某個向量場是某純量的 grad（即它是保守場），正是讓一個問題驟然變簡單的關鍵。這門學科的算子（梯度，然後在所得向量場上作用的散度與旋度，以及由它們構成的拉普拉斯算子 nabla^2 f）都從作用於純量場、或產生純量場開始。