場的拉普拉斯算子
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取房間裡的溫度，在每一點問：那裡的值與它緊鄰的平均值相比如何？如果某點比周圍平均更冷，熱量就會流向它；如果它恰好處在周圍的平均值上，它就處於平衡。拉普拉斯算子正是度量這一點的算子：它在每一點報告這個場偏離其鄰域平均值的程度。它是數學物理中最重要的二階算子。
對純量場 f，拉普拉斯算子是純量場 nabla^2 f = div(grad f) = partial^2 f/partial x^2 + partial^2 f/partial y^2 + partial^2 f/partial z^2——你先取梯度，再取它的散度。它是這個場自身最陡上升箭頭的散度，所以在梯度收斂處（局部山谷）為正，在梯度散開處（局部山峰）為負。對向量場 F 還有一個向量拉普拉斯算子，在笛卡爾坐標下逐分量定義，並由恆等式 nabla^2 F = grad(div F) - curl(curl F) 與其他算子相聯繫。nabla^2 f = 0 的場稱為調和場，而調和函數恰恰就是那些在每一點都等於自身鄰域平均值的函數。
拉普拉斯算子是三大偏微分方程的核心：拉普拉斯方程 nabla^2 phi = 0（穩態勢、平衡）、熱方程 partial u/partial t = k nabla^2 u（擴散）與波動方程 partial^2 u/partial t^2 = c^2 nabla^2 u（振動、光、聲）。在靜電學中泊松方程 nabla^2 phi = -rho/epsilon_0 把勢直接與電荷聯繫起來。凡是有東西擴散、趨於平衡或振盪的地方，支配它的就是拉普拉斯算子。
對 f(x, y) = x^2 - y^2，nabla^2 f = 2 + (-2) = 0，所以 f 是調和的：一個鞍面，每點的值恰好等於其鄰域的平均。對 f = x^2 + y^2，nabla^2 f = 4 > 0，這是碗狀山谷的標誌。
拉普拉斯算子為零意味著平衡（調和）；為正標誌局部山谷，為負標誌局部山峰。
整齊的笛卡爾公式 partial^2/partial x^2 + ... 只在直角坐標下才這麼簡單；在極、柱或球坐標下，拉普拉斯算子會因尺度因子而多出額外的項，而且在笛卡爾坐標之外，向量拉普拉斯算子並不只是逐分量的純量拉普拉斯算子——這是常見的錯誤來源。