曲線坐標下的拉普拉斯算子

笛卡兒坐標下的拉普拉斯算子 nabla^2 是簡單的和 u_xx + u_yy + u_zz，但大多數真實問題並不以方盒子的形式出現。行星是圓的，管道是圓柱，原子大致是球形的，鼓面是圓盤。要用分離變量法，你必須讓坐標系與邊界對齊，而這意味著把拉普拉斯算子改寫到極坐標、柱坐標或球坐標裡——在那裡它突然長出額外的項，以補償坐標線的彎曲。

在平面極坐標 (r, theta) 下，拉普拉斯算子變成 nabla^2 u = u_rr + (1/r) u_r + (1/r^2) u_theta theta。多出來的 (1/r) u_r 與 1/r^2 因子並非隨意——它們是徑向線向外扇形展開的代價，使得相等的角度步長在遠離原點處覆蓋更多地面。柱坐標 (r, theta, z) 只是給極坐標形式加上一個平直的 u_zz。球坐標 (r, theta, phi) 給出更繁複的 nabla^2 u = (1/r^2)(d/dr)(r^2 u_r) + (1/(r^2 sin theta))(d/d theta)(sin theta u_theta) + (1/(r^2 sin^2 theta)) u_phi phi。這些都是一個由坐標系標度因子（每個坐標單位變化對應在空間中移動多遠）搭成的一般公式的特例。當你在這些坐標裡分離變量時，徑向部分不再是簡單的正弦或餘弦：1/r 與 1/r^2 項把徑向常微分方程變成圓柱裡的貝塞爾方程、球裡的（角向）勒讓德方程。

這恰是從初等偏微分方程通向數學物理特殊函數的門戶。在圓盤或圓柱上解拉普拉斯方程、熱方程或波動方程，會迫使你用上貝塞爾函數；在球上解它們，會迫使你用上勒讓德多項式與球諧函數。氫原子、圓鼓的模態、電荷分布的多極展開、天線輻射方向圖——所有這些都直接從把拉普拉斯算子寫到與幾何相符的坐標系中，繼承了它們的特徵函數。