球坐標（spherical coordinates）
球坐標像你描述一顆星星那樣定位空間中的點：它有多遠，以及你必須轉過哪兩個角度才能指向它。三元組 (rho, phi, theta) 給出離原點的直線距離 rho、從正 z 軸往下量的極角 phi（餘緯，北極處為 0、南極處為 pi），以及完全像極坐標那樣繞 z 軸掃過的方位角 theta。半徑為 a 的球，這個直角坐標積分的剋星，變成了單一的方程 rho = a。
換算（這裡採用物理學約定）是 x = rho sin(phi) cos(theta)，y = rho sin(phi) sin(theta)，z = rho cos(phi)。體積元推導起來要費些力氣，但值得記住：dV = rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta。你能看出每個因子從何而來。一個小球坐標盒子有一條長度為 d-rho 的徑向稜；一條沿餘緯南北方向、長度為 rho d-phi 的稜；以及一條東西向的稜，它是一圈半徑為 rho sin(phi) 的緯度圓，所以長度為 rho sin(phi) d-theta。三者相乘：rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta。那個 rho^2 sin(phi) 就是球坐標映射的雅可比，和極坐標的 r 一樣，忘了它是致命的。
凡是幾何或物理以某一點為中心之處，球坐標都不可或缺：行星的引力場、點電荷的電場、氫原子的波函數、天線的輻射、球體的體積與轉動慣量。球坐標裡的拉普拉斯算子，是球面上波動方程、熱方程、拉普拉斯方程分離變量法的起點，引出勒讓德多項式和球諧函數。誠實的警告是：約定相互衝突——許多數學教材把 phi 和 theta 的含義（甚至字母）對調，所以在信任一個公式之前，永遠先說清楚哪個角是餘緯。
半徑為 a 的球的體積：theta 從 0 到 2pi、phi 從 0 到 pi、rho 從 0 到 a 上 rho^2 sin(phi) d-rho d-phi d-theta 的積分 = 2pi 乘 2 乘 (a^3 / 3) = (4/3) pi a^3。
因子 sin(phi) 在 phi 從 0 到 pi 上積分得 2，給出熟悉的 (4/3) pi a^3。
約定各異：物理學通常把 phi 稱作餘緯（從 z 軸往下），把 theta 稱作方位角，而許多數學書把二者反過來。體積元裡總帶著餘緯角的正弦——計算前先認清那是哪個字母。