向量恆等式
一旦你有了三個由同一個符號 nabla 構成的微分算子——梯度、散度、旋度——你會發現把它們組合起來並非隨心所欲：某些組合恆為零，某些乘積總是以相同方式展開。向量恆等式就是這些算子所遵循的這套固定的代數規則，是向量場版的乘積法則和鏈式法則。掌握它們能把冗長、易錯的分量計算變成一行的操作。
有兩個恆等式重要到各有專名。第一，梯度的旋度恆為零：對任意純量 f，curl(grad f) = 0。第二，旋度的散度恆為零：對任意向量場 F，div(curl F) = 0。兩者都源於混合二階偏導數的相等，正是梯度無旋、旋度無源的原因。除此之外，乘積法則展開複合表達式：grad(f g) = f grad g + g grad f；div(f F) = f div F + F dot grad f；curl(f F) = f curl F + (grad f) cross F；以及關鍵的二階恆等式 curl(curl F) = grad(div F) - nabla^2 F，它定義了向量拉普拉斯算子。
這些恆等式是電磁學與流體力學的工作語法。div B = 0 這一事實讓你能把 B 寫成某向量勢 A 的旋度（因為 div(curl A) = 0 自動成立）；靜態下 curl E = 0 這一事實讓你能把 E 寫成某純量勢的負梯度（因為 curl(grad phi) = 0）。從馬克士威方程組導出電磁波方程，本質上就是一次 curl(curl E) = grad(div E) - nabla^2 E 的應用。記住十幾個恆等式，能讓你免於每次都在坐標裡重新推導它們。
在 f = x y 上驗證 curl(grad f) = 0：grad f = (y, x, 0)，而 curl(y, x, 0) = (0 - 0, 0 - 0, partial x/partial x - partial y/partial y) = (0, 0, 1 - 1) = 0，正如恆等式所保證的。
這兩個相消總能追溯到混合偏導可交換：partial^2/partial x partial y = partial^2/partial y partial x。
兩個為零的恆等式 curl(grad f) = 0 與 div(curl F) = 0 要求場二階連續可微（這樣混合偏導才可交換）；對有奇點的場，其逆命題可能失效，這正是類磁單極子的微妙之處以及保守性渦旋反例的來源。