多元微分學
梯度與等值集（gradient and level sets）
在地形圖上，等高線連接海拔相同的點。等值集是它的高維版本：函數取某固定值的全體點之集，f = c。一個乾淨的幾何事實是：任一點處的梯度都垂直（法向）於經過該點的等值集——最陡上坡的箭頭總是與等高線成直角相交。
原因毫無玄機。若你沿等值集移動，f 的值不變，所以 f 沿任何與等值集相切方向的變化率為零。但這個變化率是 grad f 點乘（切方向），因此 grad f 與等值集中所有方向正交——這正是「垂直於等值集」的含義。在二維中 grad f 垂直於等值線並指向更高值；在三維中 grad f 垂直於等值面，事實上它就是你用來寫出該曲面切平面的法向量。
這種對偶極其有用。它免費給出任何隱式定義曲面 F(x, y, z) = c 的切平面：過該點、以 grad F 為法向的平面。它是拉格朗日乘數法的幾何核心——帶約束的極值出現在目標函數梯度與約束梯度平行之處（它們的等值集相切）。它還支撐著各處的物理圖像——電場線與等勢面成直角相交、熱流垂直於等溫線、流體壓強梯度垂直於等壓面。
對於 f(x, y) = x^2 + y^2，等值集是一族圓。在 (3, 4) 處梯度 (2x, 2y) = (6, 8) 直指向外，恰好垂直於過該點的圓——而圓在該處的切向是變化為零的方向 (8, -6)。
梯度向外，等值線切向與之垂直——把等高線與最陡箭頭的圖像精確化。
梯度只在 grad f 非零之處垂直於等值集。在臨界點 grad f = 0 不提供方向，等值集在那裡甚至可能不是光滑曲線或曲面（它可能自交或捏合）。
又稱
另見