方向導數（directional derivative）

偏導只告訴你沿平行於座標軸行走時的斜率。但你可以朝任意方向跨上一面山坡，並且可能想知道沿那個選定方向的斜率。方向導數正是如此：當你從某點沿一個指定方向移動時 f 的瞬時變化率。

選定一點和一個單位向量 u（長度為一，指向你想去的方向）。f 在該點沿方向 u 的方向導數，是當 t -> 0 時 (f(點 + t u) - f(點)) / t 的極限——即把 f 限制在過該點、方向為 u 的直線上後的普通導數。當 f 可微時，有一個美妙的捷徑：方向導數等於梯度與方向的點積，grad f 點乘 u。於是某點處的所有方向導數都被編碼進一個對象——梯度——之中，而你通過投影到選定方向就能取回其中任意一個。（用單位向量很重要；若 u 不是單位長度，公式給出的是「每單位 u」的變化率，而非「每單位距離」的變化率。）

這個點積公式立刻解釋了梯度為何指向上坡：當 u 與 grad f 對齊時 grad f 點乘 u 最大，所以最陡方向就是梯度的方向，最陡斜率就是它的模長。方向導數是描述一個場沿一束光線、一條流線或一條軌跡如何變化的語言——熱通量、代價曲面對優化中某搜索方向的響應、信號沿一條射線的變化率，都住在這裡。