偏導數（重訪）（partial derivative, revisited）
你在第一卷裡見過偏導數：凍結除一個變量外的所有變量，照常求導得到的斜率。從更深的角度重訪它：f 關於 x 的偏導數，記作 partial f / partial x，是當你嚴格沿平行於 x 軸的方向移動、其餘所有座標保持固定時 f 的變化率。它只是眾多數值中的一個——每個輸入方向都有自己的偏導。
形式上，(a, b) 處的 partial f / partial x 是當 h -> 0 時 (f(a + h, b) - f(a, b)) / h 的極限，這正是切片 g(x) = f(x, b) 的普通一元導數。這種切片既是全部技巧，也是全部危險。因為每個偏導只探測一個平行於座標軸的方向，所有偏導在某點都存在，幾乎不能告訴你函數沿斜方向的行為。函數可以在某點兩個偏導都為零，卻在那裡劇烈不連續。這正是全導數與可微性被發明出來要彌補的巨大鴻溝。
儘管有這個警告，偏導仍是多元微積分不可或缺的原料。它們裝配成梯度（所有一階偏導排成一行）、對向量輸出裝配成雅可比矩陣、對二階行為裝配成黑塞矩陣。混合二階偏導——partial^2 f / (partial x partial y) 與 partial^2 f / (partial y partial x)——只要連續就相等（克萊羅/施瓦茨定理），這就是實踐中求導次序通常無關緊要的原因。在物理中它們無處不在：壓強是能量的偏導、del 中梯度的各分量、熱方程中的擴散項 partial u / partial t。
對於 f(x, y) = x^2 y + sin(y)，把 y 當常數得 partial f / partial x = 2 x y，把 x 當常數得 partial f / partial y = x^2 + cos(y)。在 (1, 0) 處：partial f / partial x = 0，partial f / partial y = 2。
每次只對一個變量求導，其餘當常數——其機制不過是切片上的一元微積分。
某點處所有偏導都存在，並不蘊含連續，更不蘊含可微——偏導只感知平行於座標軸的方向。可微是嚴格更強的條件。