多元可微性（differentiability in several variables）

一元情形裡，「可微」不過是說圖像有切線。多元情形下誠實的含義是：圖像有一張切平面（或切平直空間），它緊貼曲面，以至於二者之間的縫隙比你離開該點的速度更快地消失。這是對良好局部行為的真正承諾，遠強於「恰好存在幾個偏導」這一記賬事實。

確切地說，f 在點 a 處可微，是指存在一個線性映射 L（它必然就是全導數），使得當 h -> 0 時 f(a + h) - f(a) - L(h) 為 o(|h|)——把殘餘誤差除以步長 |h|，無論 h 朝哪個方向都趨於零。兩個事實使這成為正確的定義。其一，可微蘊含連續，並蘊含所有方向導數線性地表現（沿方向 u 的方向導數就是梯度與 u 的點積）。其二，它嚴格強於擁有偏導：函數可以在某點兩個偏導都存在，卻在那裡不可微，因為逼近只沿座標軸良好，而在斜方向上失敗。

你真正會用到的主力充分條件是：若所有偏導在該點的某鄰域內都存在且連續（這樣的函數稱為連續可微，或 C^1），則 f 在那裡可微。由於幾乎每個由多項式、指數、正弦、對數搭出的公式在其定義之處都是 C^1，可微通常自動成立——你只在拼接點、尖角、或分母為零之處才需要停下來思考。