全微分（total differential）

當你同時把好幾個輸入各推動極小的一點點時，全微分告訴你輸出在一階上移動多少。它是多元的記賬法，把每個變量各自的貢獻加起來：你改變的每個輸入按其偏導數乘以自己那一小步推動輸出，然後你只需把這些推動相加。

對 f(x, y)，全微分是 df = (partial f / partial x) dx + (partial f / partial y) dy，變量更多時每個變量加一項。把它讀成一份食譜：f 的變化約等於 f 對 x 的敏感度乘以 x 的變化，加上對 y 的敏感度乘以 y 的變化。符號 dx 與 dy 是你施加的（微小）獨立變化；df 是由此估計出的變化。這與全導數內容相同，只是寫成一個可以代數字的公式，而非抽象的線性映射。在無窮小步長的極限下逼近是精確的，對真正小的步長則精確到一階；誤差是步長的二階量。

全微分是多元情形下誤差傳播、線性逼近與相關變率的計算核心。工程師測量一個依賴若干不確定輸入的量時，用 df 把輸入容差換算成輸出容差；物理學家用它寫出某熱力學勢隨若干狀態變量變化時如何改變。每當你看到「半徑與高度的微小變化使體積大約改變……」這樣的說法，下面做算術的正是全微分。