相關變化率（related rates）

當你給氣球充氣時，好幾樣東西在一起變化：半徑在增大，表面在拉伸，體積在膨脹——同時發生，彼此相連。相關變化率就是用來回答這類問題的技巧：如果我以穩定的速率打氣，此刻半徑增大的速度有多快？你知道一個變化率，想求另一個，而兩者之所以彼此牽連，是因為這些量本身被一個公式牽連在一起。

這個方法的關鍵在於對時間求導。從聯繫各量的方程出發——比如球體的 V = (4/3) pi r^3——然後對兩邊關於 t 求導，把每個變量都當作時間的函數。鏈式法則把 r^3 變成 3 r^2 (dr/dt)，得到 dV/dt = 4 pi r^2 (dr/dt)。這時代入已知的變化率與已知的時刻，便可解出未知的變化率。經典的梯子問題如出一轍：長度固定為 L 的梯子靠牆，有 x^2 + y^2 = L^2，求導得 2x(dx/dt) + 2y(dy/dt) = 0，把梯腳外滑的快慢與梯頂下滑的快慢聯繫起來。

最容易絆倒人的是操作順序。要先求導——把變化的量當作時間的函數——然後才代入那一時刻的具體數值。若過早代入數值——在求導之前就把 r 固定為某個值——你就凍結了一個本該在運動的變量，它的變化率會從方程裡消失，從而得出荒謬的結果。