全導數（total derivative）

各個偏導只回答某一方向的問題；全導數則一次回答所有方向。它是函數在某點附近的唯一最佳線性逼近——切線在多元情形下的替身。一元導數是一個數（斜率），而 f 在某點的全導數是一個線性映射，一臺接受任意位移向量、返回函數預測變化量的機器。

對標量函數 f(x, y)，全導數是偏導排成的行 [partial f / partial x, partial f / partial y]；把一小步 (dx, dy) 餵給它就得到 df = (partial f / partial x) dx + (partial f / partial y) dy，即 f 實際變化的最佳線性估計。對向量值映射，這一行就變成完整的雅可比矩陣。其定義性質是：這個線性估計的誤差比步長更快地縮小：當 h -> 0 時 f(a + h) - f(a) - Df(a) h 是 o(|h|)。這個小 o 條件正是多元情形下「可微」的含義，它確實比僅僅擁有偏導更強。

這正是你真正想要的對象。梯度是全導數披上向量外衣的樣子；鏈式法則是全導數的複合（矩陣相乘）；誤差傳播、牛頓法以及動力系統的線性化都依賴全導數。把導數看成一個線性映射、而非一堆偏導，是讓多元與向量微積分其餘部分匯成一幅連貫圖景的概念性飛躍。