雅可比矩陣（Jacobian matrix）
/ Jacobian: yah-KOH-bee-an /
當一個映射把若干輸入送到若干輸出——比如把座標 (x, y) 變成 (u, v)——它的導數不可能是單個數，甚至不能是單獨一行；它必須記錄每個輸出如何響應每個輸入。雅可比矩陣正是這本賬：一張偏導數的網格，每個輸出分量佔一行，每個輸入變量佔一列。它是向量值映射的全導數，寫成矩陣的形式。
對於把 (x, y) 送到 (F1, F2) 的映射 F，雅可比矩陣是 2 乘 2 矩陣 [partial F1 / partial x, partial F1 / partial y; partial F2 / partial x, partial F2 / partial y]。第 i 行第 j 列的元素是 partial Fi / partial xj。這個矩陣是 F 在某點附近的最佳線性逼近：F(a + h) 約等於 F(a) 加上 J 乘 h。它的方陣版本有一個行列式——雅可比行列式——度量映射如何拉伸或壓縮微小的面積與體積，以及是否翻轉定向；這個行列式正是多重積分換元公式中出現的因子。
雅可比矩陣是多元微積分以矩陣形式呈現的統一對象。映射複合的鏈式法則化為雅可比矩陣的普通矩陣乘法；反函數定理說映射恰在雅可比矩陣可逆（行列式非零）之處局部可逆；機器人學用它把關節角速度與末端執行器速度聯繫起來；數值求解器在求解方程組的牛頓法中使用它。每當你更換座標或將向量場線性化，雅可比矩陣就是那臺機器。
極座標到直角座標：x = r cos(theta)、y = r sin(theta)。其雅可比矩陣為 [cos(theta), -r sin(theta); sin(theta), r cos(theta)]，行列式為 r。這個 r 正是極座標中面積元為 r dr d(theta) 的原因。
極座標映射的雅可比行列式是 r——你帶入積分中的局部面積拉伸因子。
區分矩陣與行列式：雅可比矩陣是導數（一張偏導網格），而雅可比行列式是從中算出的一個數，度量面積/體積的縮放。只有方映射才有行列式。