多元鏈式法則（multivariable chain rule）
假設某個量依賴於若干變量，而這些變量又依賴於別的東西——溫度依賴於位置，但你沿一條路徑行走，於是位置又依賴於時間。你邊走時溫度變化有多快？多元鏈式法則正好回答這個問題：它把一個變化沿著依賴關係鏈傳播，並把變化能夠經過的每條路線都加起來。
若 f 依賴於 x 與 y，而 x、y 又都依賴於單個參數 t，則 df/dt = (partial f / partial x)(dx/dt) + (partial f / partial y)(dy/dt)。讀作：f 的變化經由 x 與經由 y 抵達，所以把兩條路徑相加，每條都是一個偏導乘以內層變率。若 x、y 改為依賴兩個參數 s 與 t，則你對 partial f / partial s 得到一個這樣的和，對 partial f / partial t 得到另一個。在最簡潔的表述中，這不過是全導數的矩陣乘法：複合的雅可比矩陣等於各雅可比矩陣之積，J(f 複合 g) = J(f) 乘 J(g)。
這條法則是大片應用數學背後的主力。它在不同座標系之間轉換偏微分方程（把拉普拉斯算子改寫到極座標或球座標），它驅動神經網絡中的反向傳播（梯度逐層向後流動就是嵌套的鏈式法則），它支撐著熱力學與力學中的每一次換元。它唯一要求的紀律是記賬：當有若干中間變量與若干末端變量時，很容易漏掉一項，這正是樹狀圖存在的原因。
設 f = x^2 + y^2，x = cos(t)、y = sin(t)。則 df/dt = (2x)(-sin t) + (2y)(cos t) = 2 cos t (-sin t) + 2 sin t (cos t) = 0——正確地反映出 f = 1 在單位圓上為常數。
對從輸出到參數的每條路徑求和；這裡兩條路徑相消，因為 f 在圓上為常數。
最常見的錯誤是漏掉一條路徑：當 f(x, y) 且 x、y 都依賴於 t 時，兩項都需要。項數等於從末端變量回到你所求導變量的不同路線數。