黑塞矩陣（Hessian matrix）
/ Hessian: HESS-ee-an /
梯度刻畫曲面如何傾斜；黑塞矩陣刻畫它如何彎曲。它是多元的二階導數：一個由全部二階偏導數組成的方陣，記錄函數在每一對方向之內與之間的彎曲。一元微積分用單個二階導數區分上凹與下凹，而多元情形需要一整個矩陣，因為曲率如今依賴於方向。
對 f(x, y)，黑塞矩陣是 2 乘 2 矩陣 [partial^2 f / partial x^2, partial^2 f / (partial x partial y); partial^2 f / (partial y partial x), partial^2 f / partial y^2]。對角元是沿各軸的純曲率；非對角元是混合偏導，記錄一個方向的斜率隨你在另一方向移動時如何變化。由克萊羅定理，混合偏導只要連續就相等，所以黑塞矩陣在實踐中是對稱的。對稱矩陣可分類為正定、負定或不定，而這個分類恰好把臨界點判別為局部極小（碗朝上）、局部極大（碗朝下）或鞍點（一個方向上、另一個方向下）。
黑塞矩陣是二階導數判別法與二階泰勒展開的引擎，並且是快速優化的核心：極小化的牛頓法用黑塞矩陣的逆向臨界點躍進，遠比梯度下降快，而黑塞矩陣的本徵值設定了決定一個問題極小化難度的條件數。在物理中它表現為平衡點附近的力常數矩陣，其本徵值給出振動系統的簡正模角頻率的平方。
對於 f(x, y) = x^2 - y^2，黑塞矩陣為 [2, 0; 0, -2]，處處為常數。它不定（一個正本徵值、一個負本徵值），所以原點處的臨界點是鞍點——沿 x 上升、沿 y 下降。
不定的黑塞矩陣（本徵值符號混雜）標誌著鞍點：一個方向上凹、另一個方向下凹。
黑塞矩陣只有當混合偏導連續時才對稱；一個著名反例在原點處混合偏導不相等。而當黑塞矩陣奇異（有零本徵值）時，二階導數判別法無法判定——你必須進一步考察。