二階導數判別法（second-derivative test）

一旦找到駐點——梯度消失之處——你還得知道它是哪一類。它是碗底（極小）、穹頂（極大），還是一上一下的山口（鞍點）？二階導數判別法透過考察曲面如何彎曲來回答，這種彎曲被二階偏導數所編碼。

把這些二階導數匯集成黑塞矩陣 H。在駐點附近，曲面到二階看起來就像一個由 H 塑形的二次碗。若 H 正定（所有特徵值為正，碗在每個方向都向上彎），該點是局部極小；若 H 負定（每個方向都向下彎），是局部極大；若 H 同時有正負特徵值（某些方向上、另一些方向下），是鞍點。在二元情形有一個著名捷徑，用判別式 D = f_xx f_yy - (f_xy)^2：若 D > 0 且 f_xx > 0 是極小，若 D > 0 且 f_xx < 0 是極大，若 D < 0 是鞍點。

這一判別法是一元法則 f''(x) > 0 即開口向上的極小的直接推廣。它是最佳化、力學和經濟學中分類解的主力工具。它誠實的局限在於臨界情形：當 H 只是半定——二元中 D = 0，或 H 有零特徵值——判別失效，該點的真實性質要由黑塞矩陣看不到的高階項來決定。