黑塞矩陣的定性（definiteness of the Hessian）

黑塞矩陣匯集了函數的全部二階偏導數，因而一次性描述了它的曲面在每個方向上的彎曲。定性是這個矩陣的一項性質，它告訴你彎曲是開口向上、向下還是混合。它正是極小、極大、鞍點這些詞背後的精確含義。

對稱矩陣 H 稱為正定，若二次型 v 轉置乘 H 乘 v 對每個非零方向 v 都嚴格為正——意味著無論你朝哪走，曲面都向上彎。若該二次型恆為負（處處向下彎）則為負定；若對某些方向為正、對另一些為負則為不定（鞍點）。最乾淨的檢驗是特徵值：正定即所有特徵值為正，負定即全為負，不定即正負混雜。低維下有一個等價檢驗，看順序主子式的符號（西爾維斯特判據）。當某些特徵值為零時，矩陣只是半定，二階判別無法決斷。

定性使二階導數判別法得以運作，但它的作用遠不止此。一個黑塞矩陣處處半正定的函數是凸函數，這是最佳化的黃金標準，因為此時每個駐點都是全域極小。定性還支配力學中平衡的穩定性（正定的剛度矩陣意味著穩定的靜止位置）、最小二乘問題的適定性，以及統計中協方差矩陣是否合法。它是微積分與線性代數之間的橋樑。