二階泰勒展開（多元）（second-order Taylor expansion, several variables）
一階逼近把某點附近的曲面替換成它的切平面——平的，沒有曲率。這往往太粗糙：切平面無法區分谷底、山頂與鞍點。二階泰勒展開加入曲率項，用最佳的碗形（二次）曲面來擬合該點附近的函數，使得不僅函數值與斜率、連彎曲也一併吻合。
緊湊地寫，在點 a 附近，f(a + h) 約等於 f(a) + grad f(a) 點乘 h + (1/2) h^T H(a) h，其中 grad f(a) 是梯度（線性的傾斜部分），H(a) 是黑塞矩陣（二次的彎曲部分），而 h^T H h 是讀出沿步長 h 方向曲率的二次型。三個部分是：基點處的函數值、線性修正（全微分）、二次修正。殘餘誤差是 |h| 的三階量，所以對小步長，這個逼近顯著優於線性逼近。它是 f(a) + f'(a) h + (1/2) f''(a) h^2 的多元類比。
這個展開是從黑塞矩陣通向實際結論的橋樑。在臨界點處梯度項消失，剩下 f(a + h) 約等於 f(a) + (1/2) h^T H h，於是局部形狀完全由黑塞矩陣的二次型決定——正定給出極小、負定給出極大、不定給出鞍點。這正是二階導數判別法。同一個二次模型也是牛頓法每步所極小化的對象、是平衡點附近能量地形曲率的定義，並在一階項相消時支撐誤差分析與不確定度量化。
把 f(x, y) = e^x cos(y) 在 (0, 0) 處展開。這裡 f(0, 0) = 1，grad f = (1, 0)，黑塞矩陣 [1, 0; 0, -1]，所以對小 (x, y)，f 約等於 1 + x + (1/2)(x^2 - y^2)——函數值、傾斜與曲率全部吻合。
函數值加梯度項加二分之一黑塞二次型——緊貼曲面的那條二次式。
當臨界點處黑塞矩陣退化（有零本徵值）時，二次項無法判定局部形狀，你必須考察三階或更高階項——二階判別法只會返回「無法判定」。