曲面積分
線積分把累積鋪在一維曲線上；曲面積分則把它鋪在二維曲面上。想像一塊彎曲的篷布，上面油漆的厚度逐處不同，而你想求油漆的總量：你把曲面鋪成許多小片，把每片的局部厚度乘以它的面積，再全部相加。曲面積分就是這個和在小片縮小時的極限。
對曲面 S 上的純量場 f，曲面積分寫作 integral over S of f dS，其中 dS 是面積元。要計算它，你把曲面參數化為 r(u, v)；面積元就成為兩個切向量叉積的模長，dS = |r_u cross r_v| du dv，於是曲面積分坍縮為在 (u, v) 參數區域上的普通二重積分。取 f = 1 就還原出曲面的面積；取質量密度 f 給出彎曲殼層的質量，依此類推。曲面比曲線高一維，所以你現在積兩個參數而不是一個。
曲面積分是通向那些偉大定理之前的倒數第二級台階。它最重要的特例是通量積分，它用一個向量場與曲面的定向來度量有多少場穿過曲面；通量正是散度定理與散度、斯托克斯定理與旋度相聯繫的量。在物理之外，它們計算穿過牆壁的熱流、穿過高斯面的電通量，以及流體穿過膜的質量通量。
上半單位半球的面積來自 integral over S of 1 dS。用球面角參數化給出 dS = sin(phi) d phi d theta，所以面積是 integral over theta from 0 to 2 pi, integral over phi from 0 to pi/2 of sin(phi) d phi d theta = 2 pi。
選定一個參數化，曲面積分就化為關於參數的普通二重積分。
純量面積元 dS = |r_u cross r_v| du dv 必須取叉積的模長；去掉模長（保留向量）得到的是用於通量的有向面元 dS，二者是不同的對象——把它們混淆是設置通量與面積或質量時的經典錯誤。